ここ数ヶ月でFontawesomeが新しくなっています。
現在のバージョンはVer.5となり、リンクの設定が変わっています。

以前は

<link href="https://use.fontawesome.com/releases/v5.6.1/css/all.css" rel="stylesheet">

こんな感じのコードをサイトからコピーして使えたんだけど、今現在、このコードが見当たらなくなっています。（もしかしたら、どこかにこそっとあるかも）

今は

ここにメールアドレスを入れてユーザー登録します。

そして

このYour kitをクリックすると必要なjsファイルへのリンクコードが表示されますので、それをコピーし、＜head＞内にペーストするようになっています（きっといいはず）。

このリンクさえ出来れば今までと同じように使えます。
しかし、使ってみたところ、初めて表示するページではアイコンが表示されるまで少し時間がかかるようです。